Kita sudah membahas bagaimana cara merepresetasikan tegangan atau arus dalam bentuk fasor. Pertanyaannya, bagaimana jika dalam suatu rangkaian (dengan sumber tegangan atau arus sinusoidal) terdapat elemen pasif seperti \( R,L \) dan \( C \)? Jawabannya adalah sumber tersebut pertama kali dirubah ke bentuk fasor, kemudian dengan mudah kita mendapatkan tegangan atau arus yang melaluinya.
Kita mulai dengan resistor, jika arus yang melalui resistor adalah sebesar:
\( i(t)=I_m \cos (\omega t+\phi) \)
Berapakah tegangan pada resistor? Dengan menggunakan hukum Ohm, diperoleh:
\( v=iR \)\( v=RI_m \cos (\omega t+\phi) \)
Kita rubah ke bentuk polar;
\( v=RI_m \angle \phi \)……………………………………………………(2)
Ingat persamaan fasor untuk arus;
\( \vec{I}=I_m \angle \phi \)
Maka;
\( \vec{V}=R \vec{I} \)………………………………………………………..(3)
Karena arusnya dalam bentuk fasor maka tegangannya juga sama, karena \( R \) hanya bersifat sebagai faktor pengali pada \( I_m \). Perhatikan perbedaan sebelum dan setelah ditransformasi ke fasor pada gambar di bawah ini:
Gambar 1. Hubungan tegangan-arus pada resistor (a)sebagai fungsi waktu (b)sebagai fungsi frekuensi atau fasor
Bagaimana dengan diagram fasornya? Perhatikan bahwa bentuk cosinus pada \( i \) sama dengan yang diperoeh pada \( v \), artinya baik arus dan tegangan adalah sefasa (satu fasa), perhatikan diagram fasor di bawah ini:
Gambar 2. Diagram fasor untuk resistor
Selanjutnya pada induktor \( L \), dengan mengasumsikan arus yang melaluinya sebesar:
\( i(t)=I_m \cos (\omega t+\phi) \)
Berapakah tegangan pada induktor? Dengan menggunakan persamaan berikut maka;
\( v=L \frac{di}{dt} \)\( v=L \frac{d}{dt} (I_m \cos (\omega t+\phi)) \)
Turunan dari cosinus;
\( \frac{d(\cos \omega t)}{dt}=-\omega \sin (\omega t) \)
Maka;
\( v=-\omega LI_m \sin (\omega t+\phi) \)
Kita rubah ke bentuk cosinus, ingat;
\( \cos (A+90^{o})=-\sin A \)
Maka;
\( v=\omega LI_m \cos (\omega t+\phi+90^{o}) \)
Sealnjutnya, kita transformasi ke bentuk polar:
\( v=\omega LI_m \angle (\phi+90^{o}) \)
Perhatikan bahwa tegangan memiliki amplitudo sebesar \( \omega LI_m \) dengan fasa \( \phi+90^{o} \), ingat bahwa fasa arusnya sebesar \( \phi\). Artinya apa? Bahwa tanda positif (\( +90^{o} \)) menunjukkan tegangan mendahului arus sebesar \( 90^{o} \), atau arus tertinggal dari tegangan sebesar \( 90^{o} \).
Bagaimanakah bentuk fasor dari tegangannya?
Pertama kita rubah persamaan tegangannya ke bentuk eksponensial;
\( v=\omega LI_m e^{j(\omega t+\phi+90^{o})} \)\( v=\omega LI_m e^{j\omega t} e^{j\phi} e^{j90^{o}} \)
\( e^{j90^{o}}\);
\( e^{j90^{o}}=\cos 90^{o}+j \sin 90^{o}=j \)
Maka;
\( v=j\omega LI_m e^{j\phi} e^{j\omega t} \)
Ingat:
\( \vec{I}=I_m\angle \phi=I_m e^{j\phi} \)
Tegangannya dalam bentuk fasor adalah;
\( v=j\omega L \vec{I} e^{j\omega t} \)\( v=Ri(j\omega L \vec{I} e^{j\omega t} \)
Jadi;
\( \vec{V}=j\omega L \vec{I} \)
Kita sudah berhasil mentransformasi tegangan dan arus pada induktor menjadi bentuk fasor, berikut adalah perbedaan sebelum dan setelah transformasi dilakukan:
Gambar 3. Hubungan tegangan-arus pada induktor (a)sebagai fungsi waktu (b)sebagai fungsi frekuensi atau fasor
Bagaimanakah bentuk diagram fasornya? Yang perlu diingat bahwa tegangan mendahului arus sebesar \( 90^{o} \) dan amplitudonya berbeda, kalau arus sebesar \( I_m \) pada tegangan sebesar \( \omega LI_m \). Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar di bawah ini:
Gambar 4. Diagram fasor untuk induktor \( L \)
Untuk kapsitor, asumsikan tegangan yang melaluinya sebesar:
\( v(t)=V_m \cos (\omega t+\phi) \)
Maka arus yang melaluinya adalah:
\( i=C \frac{dv}{dt} \)\( i=C \frac{d}{dt}(V_m \cos (\omega t+\phi)) \)
Dengan penurunan cosinus seperti pada kasus induktor, diperoleh:
\( i=\omega CV_m \cos (\omega t+\phi+90^{o}) \)
Kita rubah ke bentuk eksponensial;
\( i=\omega CV_m e^{j(\omega t+\phi+90^{o})} \)\( i=\omega CV_m e^{j\omega t} e^{j\phi} e^{j90^{o}} \)
Seperti yang sudah dibuktikan sebelumnya;
\( e^{j90^{o}}=j \)
Maka;
\( i=j\omega CV_m e^{j\phi} e^{j\omega t} \)
Ingat;
\( \vec{V}=V_m e^{j\phi}=V_m\angle \phi \)
Maka;
\( i=Ri(j\omega C \vec{V} e^{j\omega t}) \)
Maka;
\( \vec{I}=j\omega C \vec{V} \)
Persamaan tegangan fasornya adalah;
\( \vec{V}=\frac{\vec{I} }{j\omega C} \)
Kita sudah berhasil merubah bentuk sinusoidal menjadi fasor untuk arus dan tegangan pada kapasitor, perhatikan gambar berikut ini:
Gambar 5. Hubungan tegangan-arus pada kapasitor (a) sebagai fungsi waktu (b) sebagai fungsi fasor
Perhatikan bahwa arus \( \vec{I} \) dan tegangan \( \vec{V} \) masing-masing memiliki fasa \( \phi+90^{o} \) dan \(\phi \), artinya arus mendahului tegangan sebesar \( 90^{o} \). Amplitudo keduanya juga berbeda, arus mmemiliki amplitudo sebesar \( \omega CV_m \) dan tegangan sebesar \( V_m \), maka diagram fasornya adalah:
Gambar 6. Diagram fasor untuk kapasitor, arus mendahului tegangan sebesar \( 90^{o} \)
Contoh Soal
Tegangan sebesar;
\( v(t)=12 \cos (60t+45^{o}) \)
Diberikan pada induktor 0,1 H. Tentukan arus steady state pada induktor.
Jawab
Kita rubah tegangan ke bentuk fasor;
\( \vec{V}=V_m \angle \phi \)
Masukkan \( V_m=12, \phi=45^{o} \);
\( \vec{V}=12 \angle 45^{o} \)
Persamaan arus diperoleh dari;
\( \vec{V}=j\omega L \vec{I} \)\( \vec{I}=\frac{\vec{V} }{j\omega L} \)
\( \omega=60, L=0,1 \) maka;
\( \vec{I}=\frac{12∠45°}{j6} \)
Karena pembagian maka harus ke bentuk polar, kita rubah \( j6 \) ke polar:
\( j6=x+jy \)
Maka;
\( x=0, y=6 \)
Mencari \( r \);
\( r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{36}=6 \)
Mencari \( \phi \);
\( \phi=tan^{-1}\frac{y}{x}=tan^{-1}\frac{4}{0} \)\( \phi=tan^{-1} \infty=90^{o} \)
Jadi bentuk polar dari \( j6 \);
\( j6=r\angle \phi \)\( j6=6\angle 90^{o} \)
Maka pembagiannya menjadi;
\( \vec{I}=\frac{12\angle 45^{o}}{6\angle 90^{o}}=\frac{12}{6}\angle (45^{o}-90^{o}) \)
\(\vec{I} =2-45^{o} \) A
Kita rubah ke bentuk sinusoidal:
\( i(t)=I_m \cos (\omega t+\phi) \)
\( i(t)=2 \cos (60t-45^{o}) \) A
PREVIOUS: Fasor
NEXT: Impedansi dan admitansi