Rangkaian RLC paralel diaplikasikan pada jaringan komunikasi dan desain filter. Perhatikan rangkaiannya pada gambar di bawah ini:
Gambar 1. Rangkaian RLC paralel
Dengan mengasumsikan arus mula-mulapada induktor sebesar \( I_0 \) dan tegangan mula-mula kapasitor sebesar \( V_0 \);
\( i(0)=I_0=\frac{1}{L} \int_{-\infty}^{0}v(t)dt \)…………………….(1)
\( v(0)=V_0 \)………………………………….(2)
Ketiga komponen pada rangkaian di atas adalah paralel, artinya tegangan ketiganya sama yaitu sebesar \( v \) (perhatikan simpul pada bagian atas rangkaian), oleh karena itu kita akan mencari persamaan \( v \) untuk menyelesaikan permasalahan pada rangkaian RLC paralel. Arus mengalir dari simpul atas menuju ground, maka dengan menerapkan hukum arus Kirchhoff (KCL) diperoleh:
\( i_{masuk}=i_{keluar} \)
Tidak ada arus masuk yang ada hanyalah arus keluar;
\( 0=i_R+i_L+i_C \)Ingat:
\( i_R=\frac{v}{R} \)\( i_L=\frac{1}{L} \int_{-\infty}^{t}vdt \)
\( i_C=C \frac{dv}{dt} \)
Maka KCL menjadi:
\( \frac{v}{R}+\frac{1}{L} \int_{-\infty}^{t}vdt+C \frac{dv}{dt}=0 \)……………………….(3)
Kedua ruas kita bagi dengan \( C \);
\( \frac{v}{RC}+\frac{1}{LC} \int_{-\infty}^{t}vdt+\frac{dv}{dt}=0 \)Kemudian diturunkan terhadap \( t \);
\( \frac{1}{RC}\frac{dv}{dt}+\frac{1}{LC}v+\frac{d^2v}{dt^2} =0 \)
\( \frac{d^2v}{dt^2}+\frac{1}{RC}\frac{dv}{dt}+\frac{1}{LC}v=0 \)…………………………(4)
Persamaan (4) merupakan persamaan diferensial orde dua, artinya kita memerlukan dua kondisi awal untuk dapat memecahkannya.
Saat \( v(0) \)
Persamaan (3) menjadi;
\( \frac{v(0)}{R}+\frac{1}{L}\int_{-\infty}^{0}v(0)dt+C \frac{dv(0)}{dt}=0 \)
\( v(0)=V_0 \) maka;
\( \frac{V_0}{R}+\frac{1}{L}\int_{-\infty}^{0}vdt+C \frac{dv(0)}{dt}=0 \)
Mensubtitusikan persamaan (1);
\( \frac{V_0}{R}+I_0+C \frac{dv(0)}{dt}=0 \)
\( \frac{dv(0)}{dt}=-\frac{1}{C}(\frac{V_0}{R}+I_0 ) \)……………………………….(5)
Kita sudah memperoleh dua kondisi awal yaitu pada persamaann (2) dan persamaan (5). Bentuk tegangan \( v \) pada persamaan (4) adalah eksponensial, seperti yang pernah diamati pada rangkaian orde satu, maka nilai \( v \) secara umum berbentuk;
\( v=Ae^{st} \)………………………………………(6)
Kemudian nilai \( A \) dan \( s \) dicari, dari persamaan (6) turunan pertama dan kedua dari \(v \) adalah:
\( \frac{dv}{dt}=\frac{d(Ae^{st})}{dt}=A \frac{d e^{st} }{dt} \)
Ingat:
\( \frac{d(e^{ax})}{dx}=a e^{ax} \)
Maka;
\( \frac{dv}{dt}=As e^{st} \)
Turunan kedua \(v\) adalah:
\( \frac{d}{dt}(\frac{dv}{dt})=\frac{d}{dt}(As e^{st} ) \)\( \frac{d^2v}{dt^2}=As^2 e^{st} \)
kita subtitusi persamaan \(v\), turunan pertama dan keduanya ke persamaan (4);
\( As^2 e^{st}+\frac{1}{RC}As e^{st}+\frac{1}{LC}A e^{st}=0 \)\( A e^{st}(s^2+\frac{1}{RC}s+\frac{1}{LC} )=0 \)
Misalkan \( Ae^st=Z \) maka \(Z\) kali sesuatu (pada dalam kurung) hasilnya nol, supaya mendapatkan nol maka nilai yang ada di dalam kurung pasti nol. Sehingga:
\( s^2+\frac{1}{RC}s+\frac{1}{LC}=0 \)…………………………(7)
Kita bisa menyelesaikan persamaan (7) menggunakan persamaan akar kuadrat, ingat:
\( ax^2+bx+c=0 \)
Penyelesaian akarnya adalah:
\( x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a} \)
Maka berdasarkan persamaan (7), dapat kita simpulkan:
\( a=1 \)\( b=\frac{1}{RC} \)
\( c=\frac{1}{LC} \)
Sehingga nilai dari \(s\) adalah:
\( s_1=\frac{-\frac{1}{RC}+\sqrt{(\frac{1}{RC} )^2-\frac{4}{LC} } }{2} \)
Ingat: \( x:2=x\times(1/2) \) maka:
\( s_1=\frac{1}{2}(-\frac{1}{RC}+\sqrt{(\frac{1}{RC})^2-\frac{4}{LC} } ) \)\( s_1=-\frac{1}{2RC}+\sqrt{\frac{1}{4}(\frac{1}{RC})^2-\frac{1}{4} \frac{4}{LC} } \)
Karena:
\( \frac{1}{4}=(\frac{1}{2} )^2 \)
Maka:
\( s_1=-\frac{1}{2RC}+\sqrt{(\frac{1}{2RC})^2-\frac{1}{LC} } \)………….(8)
Dengan cara yang sama, nilai dari \( s_2 \) adalah:
\( s_1=-\frac{1}{2RC}-\sqrt{(\frac{1}{2RC})^2-\frac{1}{LC} } \)………….(9)
Kita dapat membuat permisalan, dimana:
\( \alpha=\frac{1}{2RC} \)
Dan
\( \omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC} } \)
Maka persamaan (8) dan (9) menjadi:
\( s_1=-\alpha + \sqrt{\alpha^2-\omega_0^2} \)…………………………(10)
\( s_1=-\alpha – \sqrt{\alpha^2-\omega_0^2} \)…………………………(11)
Rangkaian RLC paralel memiliki tiga kondisi yaitu kondisi overdamped (saat \(\alpha>\omega_{0}\)), critically damped (saat \(\alpha=\omega_{0}\)) dan underdamped (saat \(\alpha<\omega_{0}\)).
Overdamped (\(\alpha>\omega_{0}\))
Pada kondisi ini, bentuk tegangannya adalah:
\( v(t)=A_1 e^{s_1t}+A_2 e^{s_2t} \)………………………….(12)
Critically damped (\(\alpha=\omega_{0}\))
Pada kondisi ini, persamaan tegangannya berbentuk:
\( v(t)=(A_1+A_2t)e^{-\alpha t} \)…………………………(13)
Underdamped (\(\alpha<\omega_{0}\))
Pada keadaan underdamped, persamaan tegangannya adalah:
\( v(t)=e^{-\alpha t}(A_1 \cos \omega_{d}t+A_2 \sin \omega_{d}t ) \)…………….(14)
Ingat nilai \(\omega_{d}\) adalah;
\( \omega_{d}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\alpha^2 } \)………………………(15)
Sedangkan persamaan akar \(s_1\) dan \(s_2\) untuk kasus underdamped adalah;
\( s_{1,2}=-\alpha \pm j \omega_{d} \)…………………………(16)
Contoh Soal
Perhatikan rangkaian di bawah ini:
Gambar 2. Soal rangkaian RLC paralel
Tentukan \(v(t)\) untuk \( t>0 \), asumsikan bahwa \( v(0)=5 V, i(0)=0 \) dengan nilai \(R\) :
- \( R=1,923 Ω \)
- \( R=5 Ω \)
- \( R=6,25 Ω \)
Jawab
\( R=1,923 Ω \)
Mencari \(\alpha \) dan \(\omega_{0}\)
\( \alpha =\frac{1}{2RC}=\frac{1}{2(1,923)0,01}=26 \)\( \omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{LC} }=\frac{1}{\sqrt{1(0,01)} }=10 \)
Maka \(\alpha>\omega_{0}\), jadi termasuk ke kondisi overdamped. Persamaan akar-akar \(s_{1,2}\) adalah:
\( s_1=-\alpha +\sqrt{\alpha^2-\omega_{0}^{2} }=-26+\sqrt{676-100} \)\( s_1=-26+24=-2 \)
\( s_2=-\alpha -\sqrt{\alpha^2-\omega_{0}^{2} }=-26-\sqrt{676-100} \)
\( s_2=-26-24=-50 \)
Persamaan tegangan untuk overdamped adalah:
\( v(t)=A_1 e^{s_1t}+A_2 e^{s_2t} \)
Masukkan \( s_1 \)dan \( s_2 \);
\( v(t)=A_1 e^{-2t}+A_2 e^{-50t} \)
Berapakah nilai \( A_1 \) dan \( A_2 \)?
Kita gunakan kondisi mula-mula, pada \( t=0 \). Persamaan tegangannya menjadi;
\( v(0)=A_1 e^{0}+A_2 e^{0} \)\( v(0)=A_1+A_2 \)
Berdasarkan soal, \( v(0)=5 \)V, maka;
\( 5=A_1+A_2 \)
Selanjutnya kita diferensialkan tegangan \( v \) terhadap \(t\) ;
\( \frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}(A_1 e^{-2t}+A_2 e^{-50t} ) \)\( \frac{dv}{dt}=-2A_1 e^{-2t}-50A_2 e^{-50t} \)
Saat \( t=0 \);
\( \frac{dv(0)}{dt}=-2A_1 e^{0}-50A_2 e^{0}=-2A_1-50A_2 \)
Mencari \(\frac{dv(0)}{dt} \)
Kita gunakan persamaan (5):
\( \frac{dv(0)}{dt}=-\frac{1}{C}(\frac{V_0}{R}+I_0 ) \)\( \frac{dv(0)}{dt}=-\frac{1}{0,01}(\frac{5}{1,923}+0 ) \)
\( \frac{dv(0)}{dt}=-100(2,6)=-260 \)
Maka;
\( -260=-2A_1-50A_2 \)
Kita sudah mendapatkan dua persamaan, sehingga kita bisa mencari nilai konstanta \( A_1 \) dan \( A_2 \);
\( 5=A_1+A_2 \)
Maka;
\( A_1=5-A_2 \)\( A_1 \) disubtitusikan ke persamaan berikut:
\( -260=-2A_1-50A_2 \)\( -260=-2(5-A_2 )-50A_2 \)
\( -260+10=-48A_2 \)
\( A_2=\frac{-250}{-48}=5,2 \)
Nilai \( A_1 \) adalah:
\( A_1=5-A_2=5-5,2=-0,2 \)
Maka persamaan tegangan untuk kasus \( R=1,923Ω \) adalah:
\( v(t)=-0,2 e^{-2t}+5,2 e^{-50t} \)
\( R=5Ω \)
Mencari \( \alpha \)
\( \alpha =\frac{1}{2RC}=\frac{1}{2(5)0,01}=10 \)
\( \omega_0 \) sudah dicari pada poin a, \( \omega_0=10 \)
Jadi pada kasus ini \( \alpha=\omega_0 \) maka termasuk ke critically damped. Persamaan tegangannya adalah:
\( v(t)=(A_1+A_2t)e^{-\alpha t} \)
Mencari \( A_1 \) dan \( A_2 \) menggunakan kondisi awal saat \( t=0 \)
Persamaan tegangan menjadi;
\( v(0)=(A_1+A_2(0))e^{0}=A_1 \)
Pada soal \( v(0)=5 \) V maka;
\( 5=A_1 \)
Diferensial persamaan tegangan:
\( \frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}((A_1+A_2t)e^{-\alpha t} ) \)\( \frac{dv}{dt}=-\alpha A_1 e^{-\alpha t}+A_2 e^{-\alpha t}+(-\alpha)A_2t e^{-\alpha t} \)
\( \frac{dv}{dt}=(-\alpha A_1-\alpha A_2t+A_2)e^{-\alpha t} \)
Masukkan nilai \( \alpha =10 \);
\( \frac{dv}{dt}=(-10A_1-10A_2t+A_2)e^{-10t} \)
Saat \( t=0 \)
\( \frac{dv(0)}{dt}=(-10A_1+A_2)e^{0} \)\( \frac{dv(0)}{dt}=-10A_1+A_2 \)
Masukkan nilai \( A_1=5 \);
\( \frac{dv(0)}{dt}=-50+A_2 \)
Mencari \( dv(0)/dt \) menggunakan persamaan (5)
\( \frac{dv(0)}{dt}=-\frac{1}{C}(\frac{V_0}{R} +I_0) \) \( \frac{dv(0)}{dt}=-\frac{1}{0,01}(\frac{5}{5}+ 0) \) \( \frac{dv(0)}{dt}=-100 \)
Maka:
\( -100=-50+A_2 \)\( A_2=-50 \)
Sehingga persamaan tegangannya menjadi:
\( v(t)=(5-50t) e^{-10t} \)
\( R=6,25Ω \)
Mencari \( \alpha \)
\( \alpha =\frac{1}{2RC}=\frac{1}{2\times 6,25 \times 0,01}=8 \)
Kita sudah memperoleh \( \omega_{0}=10 \) maka \( \alpha<\omega_{0} \), sehingga masuk ke kondisi underdamped. Persamaan tegangannya adalah:
\( v(t)=e^{-\alpha t}(A_1 \cos \omega_{d}t+A_2 \sin \omega_{d}t) \)
Yang belum diketahui adalah \( A_1, A_2 \) dan \( \omega_{d} \). Mencari \( \omega_{d} \):
\( \omega_{d}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\alpha^2}=\sqrt{100-64} \) \( \omega_{d}=\sqrt{36}=6 \)
Mencari \( A_1 \) dan \( A_2 \):
Saat \( t=0 \), persamaan tegangannya menjadi:
\( v(0)=e^{-8(0)}(A_1 \cos 6(0)+A_2 \sin 6(0)) \) \( v(0)=e^{0}(A_1 \cos 0+A_2 \sin 0) \) \( v(0)=A_1=5 \)
Mencari \( dv(0)/dt \) menggunakan persamaan (5)
\( \frac{dv(0)}{dt}=-\frac{1}{C}(\frac{V_0}{R}+I_0 ) \) \( \frac{dv(0)}{dt}=-\frac{1}{0,01}(\frac{5}{6,25} +0) \) \( \frac{dv(0)}{dt}=-\frac{0,8}{0,01}=-80 \)
Selanjutnya kita turunkan persamaan tegangannya terhadap waktu:
\( \frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}(e^{-\alpha t}(A_1 \cos \omega_{d}t+ A_2 \sin \omega_{d}t) ) \)\( \frac{dv}{dt}=-\alpha e^{-\alpha t}( A_1 \cos \omega_{d}t+ A_2 \sin \omega_{d}t)+e^{-\alpha t}(-\omega_{d} A_1 \sin \omega_{d}t+\omega_{d} A_2 \cos \omega_{d}t) \)
Memasukkan nilai \( \alpha=8, \omega_{d}=6 \) maka;
\( \frac{dv}{dt}=e^{-8t}(-8 A_1 \cos 6t-8A_2 \sin 6t)+e^{-8t}(-6 A_1 \sin 6t+6 A_2 \cos 6t) \)
Saat \( t=0 \)
\( \frac{dv(0)}{dt}=e^{0}(-8A_1 \cos 0-8A_2 \sin 0)+e^{0}(-6A_1 \sin 0+6A_2 \cos 0) \)\( \frac{dv(0)}{dt}=-8A_1+6A_2 \)
Kita sudah mendapatkan \( dv(0)/dt=-80 \) maka;
\( -80=-8A_1+6A_2 \)Memasukkan nilai \( A_1=5 \) maka;
\( A_2=-80+40=-40 \)
Jadi persamaan tegangan untuk kasus underdamped adalah:
\( v(t)=e^{-8t}(5 \cos 6t-40 \sin 6t) \)
Jika kita membuat grafik dari ketiga kondisi di atas, maka hasilnya dapat dilihat pada gambar di bawah ini:
Gambar 3. Plot dari overdamped, critically damped dan underdamped
PREVIOUS: Rangkaian seri RLC
NEXT: Respon SteRLCp rangkaian seri RLC