Sinusoidal adalah sinyal yang memiliki bentuk gelombang sinus atau cosinus, suatu rangkaian memiliki arus atau sumber tegangan yang berbentuk sinusoid disebut sebagai rangkaian AC (alternating current). Sinusoid sangat penting dalam menganalisis rangkaian. Perhatikan tegangan sinusoidal di bawah ini:
\( v(t)=V_m \sin \omega t \)………………………..(1)
Dimana:
\( V_m \) = amplitudo dari sinusoidal
\( \omega \) = frekuensi sudut (rad/s)
\( \omega t \) = argumen dari sinusoidal
Perhatikan gambar di bawah ini:
Gambar 1. Sinusoidal dengan argumen \( \omega t \)
Berdasarkan gambar di atas, gambar 1 adalah sinusoidal yang digambar sebagai fungsi argumen. Dari gambar di atas, kita dapat simpulkan bahwa bentuk gelombang sinusoidal terjadi secara berulang setiap \( T \) detik. \( T \) disebut sebagai periode dari sinusoidal, perhatikan pada gambar 1 bahwa satu gelombang penuh dimulai dari 0 sampai dengan \( 2\pi \), jadi kita dapat menuliskan:
\( \omega T=2\pi \)Maka;
\( T=\frac{2\pi}{\omega} \)…………………………………………………(2)
Jika kita ganti \( π \) dan kelipatannya pada gambar 1 dengan \( T \) maka diperoleh;
\( \pi=\frac{T}{2} \)\( 2\pi=T, dst \)
Maka jika diplot sinusoidal sebagai fungsi waktu \( t \) maka diperoleh gambar sebagai berikut:
Gambar 2. Sinusoidal dengan fungsi waktu
Karena gelombangnya berulang tiap \( T \) maka persamaan (1) kita coba ganti \( t \) dengan \( t+T \):
\( v(t+T)=V_m \sin \omega (t+T) \)
Subtitusi \( T \) dengan persamaan (2);
\( v(t+T)=V_m \sin \omega (t+\frac{2\pi}{\omega} ) \) \( v(t+T)=V_m \sin (\omega t+2\pi) \)
Misalkan:
\(\sin 90^{o}=1\)Jika kita jumlahkan dengan \( 2\pi=360^{o} \) maka;
\( \sin (90^{o} +360^{o} )=\sin 450^{o} \)\( \sin 450^{o} =1 \)
Jadi kita dapat simpulkan bahwa \( \sin (\omega t+2\pi)=\sin \omega t \), sehingga:
\( v(t+T)=V_m \sin \omega t \)…………………………………(3)
Persamaan (1) dan (3) adalah sama, maka:
\( v(t+T)=v(t) \)…………………………………………….(4)
Berdasarkan persamaan (4), \( v(t+T)=v(t) \) maka dapat dikatakan sinusoidal adalah fungsi periodik. \( T \) menyatakan waktu yang diperlukan untuk satu gelombang penuh, kebalikan dari \( T \) adalah berapa gelombang yang terjadi dalam satu satuan waktu. Disebut sebagai frekuensi \( f \), persamaannya adalah:
\( f=\frac{1}{T} \)……………………………………………(5)
Satuan dari \( f \) adalah hertz (Hz).
Kita plot fungsi sinusoidal:
\( v_1(t)=V_m \sin \omega t \)
Seperti pada gambar 3 (gelombang berwarna biru). Misalkan kita memplot fungsi sinusoidal yang lainnya \( v_2 \) dengan persamaan:
\( v_2(t)=V_m \sin (\omega t+\phi) \)\( \phi \) adalah fasa, perhatikan gambar 3 (gelombang terputus-putus) bahwa fungsi \( v_2 \) terjadi lebih dahulu daripada fungsi \( v_1 \).
Gambar 3. Dua sinusoidal dengan fasa \( \phi \) yang berbeda
Berdasarkan gambar 3:
\( v_2 \) mendahului \( v_1 \) sebesar \( \phi \), atau bisa juga disebut \( v_1 \) tertinggal oleh \( v_2 \) sebesar \( \phi \).
Gambar 3 di atas menunjukkan bahwa saat \( \phi≠0 \), \( v_1 \) dan \( v_2 \) memiliki perbedaan fasa, tapi jika \( \phi=0 \) maka \( v_1 \) dan \( v_2 \) disebut satu fasa.
Recall fungsi trigonometri
Jika dua fungsi dijumlahkan, maka rumusnya sebagai berikut:
\( \sin (A\pm B)=\sin A \cos B \pm \cos A \sin B \)\( \cos(A\pm B)=\cos A \cos B\mp \sin A \sin B \) …………………………………(6)
Mari kita ekspansi fungsi trigonometri, misalkan:
\( \sin 30^{o} =0,5 \)
Kita coba tambahkan dengan sudut \( 90^{o} \) maka;
\( \sin (30^{o}+90^{o})=\sin 120^{o} \) \( \sin 120^{o}=\frac{1}{2}\sqrt{3} \)
Ternyata nilai \( \sin 120^{o}=\cos 30^{o} \), jadi dapat disimpulkan:
\( \sin (\omega t+90^{o})=\cos \omega t \)
Dengan cara yang sama, kita dapatkan:
\( \sin (\omega t-90^{o})=-\cos \omega t \)
Jadi dari kedua kasus tersebut, kita dapat menyimpulkan:
\( \sin (\omega t\pm 90^{o})=\pm \cos \omega t \)…………………………..(7)
Sekarang kita coba untuk cosiunus:
\( \cos 60^{o}=0,5 \)
Jika dijumlahkan dengan sudut \( 90^{o} \) maka;
\( \cos (60^{o}+90^{o})=\cos 150^{o} \) \( \cos 150^{o}=-\frac{1}{2}\sqrt{3} \)
Ternyata;
\( \sin 60^{o}=\frac{1}{2}\sqrt{3} \)
Jadi kita dapat menyimpulkan:
\( \cos (\omega t+90^{o})=-\sin \omega t \)
Dengan cara yang sama, kita mendapatkan:
\( \cos (\omega t-90^{o})=+\sin \omega t \)
Jadi kita dapat menyimpulkan:
\( \cos (\omega t \pm 90^{o})=\mp \sin \omega t \)………………………………(8)
Berdasarkan persamaan (7) dan (8), kita bisa membuat grafik hubungan sinus-cosinus jika dikurangi atau ditambah sudut \( 90^{o} \). Perhatikan gambar berikut:
Gambar 4. Hubungan sinus-cosinus jika ditambah atau dikuarngi sudut \( 90^{o} \)
Bagaimana cara membaca grafiknya?. Sebagai contoh: kita punya persamaan \( \cos (\omega t-90^{o}) \), berapakah nilai sinusnya?
Karena yang diketahui adalah cosinus, maka kita mulai dari sumbu \( +\cos \omega t \), catatan:
- kalau dikurangi (-) maka arah perputarannya adalah searah jarum jam,
- jik dijumlahkan (+) maka perputarannya berlawanan arah jarum jam.
Karena dikurangi maka berputar searah jarum jam sebesar \( 90^{o} \) seperti pada gambar 4 di atas. Sekarang kita menemui \( +\sin \omega t \). Jadi \( \cos (\omega t-90^{o})=+\sin \omega t \).
kita coba \( –\sin (\omega t+90^{o}) \), nilai cosinusnya berapa? Kita mulai dari sumbu \( –\sin \), karena dijumlahkan maka perputarannya berlawanan jarum jam, maka kita menemui sumbu \( –\cos \), jadi \( –\sin (\omega t+90^{o})=-\cos \omega t \). Dengan menggunakan gambar 4, kita berhasil membuktikan persamaan (7) dan (8).
Bagaimana kalau suatu sinus ditambah atau dikurangi dengan sudut \( 180^{o} \)? Maka kita cukup menggunakan grafik releasi sinus-cosinus pada gambar di bawah ini:
Gambar 5. Relasi sinus-cosinus jika dijumlahkan atau dikurangi sudut \( 180^{o} \).
Jika ada persamaan \( \sin (\omega t+180^{o}) \), berapakah nilai cosinusnya? Perhatikan gambar 5, kita mulai dari sumbu positif sinus, karena dijumlahkan maka perputarannya berlawanan arah jarum jam, kita menemui sumbu negatif sinus, jadi \( \sin (\omega t+180^{o}=-\sin \omega t \), dengan cara yang sama kita peroleh:
\( \sin (\omega t \pm 180^{o})=-\sin \omega t \)\( \cos (\omega t \pm 180^{o} )=-\cos \omega t \)………………………………(9)
Penjumlahan fungsi sinus-cosinus
Misalkan ada dua fungsi:
\( y_1=A \cos \omega t \) \( y_2=B \sin \omega t \)
Maka \( y_1+y_2 \);
\( y_1+y_2=C \cos (\omega t-\theta) \)
Dimana:
\( C=\sqrt{A^2+B^2} \) \( \theta=\tan^{-1} \frac{B}{A} \)
Contoh: tentukan \( 3 \cos \omega t-4 \sin \omega t \).
Jawab
Menentukan \( C \)
\( C=\sqrt{3^2+(-4)^2}=5 \)
Menentukan \( \theta \)
\( \theta=\tan^{-1} -\frac{4}{3}=-53,1^{o} \)
Jadi:
\( 3 \cos \omega t-4 \sin \omega t=5 \cos (\omega t+53^{o}) \)
Jika diplot maka grafiknya adalah sebagai berikut:
Gambar 6. Penjumlahan fungsi sinus dan cosinus
Contoh soal 1
Tentukan amplitudo, fasa, periode dan frekuensi pada sinusoidal berikut ini:
\( v(t)=12 \cos (50t+10^{o}) \)
Jawab
Amplitudo \( V_m=12 \)
Fasa \( \phi=10^{o} \)
Frekuensi sudut \( \omega=50 \) rad/s
Periode
\( T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{50}=0,1257 sekon \)
Frekuensi
\( f=\frac{1}{T}=\frac{1}{0,1257}=7,958 \) Hz
Contoh soal 2
Hitunglah sudut fasa antara:
\( v_1=-10 \cos (\omega t+50^{o}) \) \( v_2=12 \sin (\omega t-10^{o}) \)
Manakah sinusoidal yang mendahului?
Jawab
Kedua sinusoidal berbeda bentuk, \( v_1 \) berupa gelombang cosinus sedangkan \( v_2 \) berupa sinus. Supaya bisa menyelesaikannya, maka kita harus membuat bentuk gelombangnya sama, boleh ke sinus boleh juga ke cosinus.
Ubah ke fungsi sinus
Yang harus kita rubah adalah \( v_1 \) ke bentuk sinus. Bentuk dari \( v_1 \) adalah \( –\cos \omega t \). Misalkan:
\( \omega t+50^{o}=\beta \)
Maka \( v_1 \) menjadi:
\( v_1=10\times –\cos \beta \)
Berdasarkan persamaan (7), \( –\cos (\omega t-90^{o}) \) maka;
\( v_1=10 \sin (\beta-90^{o}) \)
Kita subtitusi nilai \( \beta \);
\( v_1=10 \sin (\omega t+50^{o}-90^{o} \) \( v_1=10 \sin (\omega t-40^{o}) \)
Supaya menyamakan bentuk dengan \( v_2 \), maka:
\( v_1=10 \sin (\omega t-10^{o}-30^{o}) \)
Kita bandingkan dengan \( v_2 \);
\( v_2=12 \sin (\omega t-10^{o} ) \)
Perhatikan bahwa perbedaan \( v_1 \) dengan \( v_2 \) adalah \( -30^{o} \).
Catatan:
- tanda negatif (-) berarti tertinggal
- tanda positif (+) berarti mendahului.
Oleh karena itu dapat disimpulkan bahwa gelombang \( v_1 \) tertinggal \( 30^{o} \) oleh \( v_2 \), bisa juga dikatakan bahwa \( v_2 \) mendahului \( v_1 \) sebesar \( 30^{o} \).
Jika ingin diubah ke cosinus, maka \( v_2 \) yang dikonversi ke bentuk cosinus. Hasilnya akan sama dengan pengerjaan di atas.
NEXT: Fasor